KBO 포스트시즌 - 한국시리즈는 과연 충분히 재밌는 시리즈였을까?

KBO 포스트시즌 제도: 이제는 우리가 헤어져야 할 시간이라는 글을 쓴 적이 있습니다. 이 글은 그 글에 대한 보충으로, 몇 가지 더 사람들을 설득할 수 있는 근거를 제시하기 위해 쓰는 글입니다.
 
 KBO 리그는 계단식 포스트시즌을 통해서 1위 팀이 한국시리즈 우승할 확률을 높이는 방식을 택하고 있습니다. 그래서인지(명확하지는 않지만) KBO 리그의 최종 우승팀은 정규시즌 우승팀이 될 확률이 굉장히 높습니다. (계단식 포스트시즌을 선택한 시즌에서 정규시즌 1위 팀의 최종 우승 확률 84.4%, 32 시즌 중 27회) 만약 이런 제도를 택함에도 불구하고 한국시리즈의 대부분이 흥미진진하다면 사실 포스트시즌을 바꾸자고 주장해도 사람들이 받아들일 가능성은 높지 않습니다. 특히나 2022 한국시리즈가 보여줬듯이 정규시즌 1위 팀이 우승하는 시리즈라고 일방적으로 진행되라는 법은 없습니다. 하지만 안타깝게도 KBO 한국시리즈는 그렇지 않습니다.

즐거움을 점수화 해보자, 관심 점수 (Score of Interest, SOI)

 사실 즐거움은 아무래도 심리적인 것이기 때문에 제가 점수화할 수 있는 것은 아닐 겁니다. 하지만 우회 정도는 할 수 있지 않을까 싶습니다. 사람들에게 보편적으로 받아들여지는 것들을 중심으로 심리적인 점수와는 다른 점수 척도를 생각해 볼 수 있을 겁니다. 예컨대, 일반적으로 시리즈가 장기화되고 두 팀이 치고 박으면서 어떤 팀이 시리즈를 승리할지 모를수록 팬들이 시리즈에 관심을 가지게 될 거라는 건 일반적인 생각입니다. 저는 이 두 가지를 사용하기로 한 겁니다. 시리즈의 장기화, 그리고 시리즈 내에서의 승리 확률의 균형을 가지고 말입니다. 그리고 이를 이 글에서 관심 점수(Score of Interest, SOI)라고 부를 생각입니다.

 우선 시리즈의 장기화는 명확합니다. 경기가 4차전에 끝나면 가장 짧은 시리즈, 7차전에 끝나면 가장 긴 시리즈겠죠. 물론 무승부가 가능하긴 하지만 무승부는 재껴놓고 생각합시다. 포스트시즌 전체 마지막 무승부도 2006년 한국시리즈인 만큼 나오기 힘드니까요. 우선 경기 수는 사실상 그대로 들어가는 것과 마찬가지로 정의할 수 있을 겁니다. 이를 경기 점수 (Game Score, GS)라고 부르기로 합시다. 저는 4차전 시리즈 점수를 0, 7차전 점수를 $0.707(=\frac{1}{\sqrt{2}})$로 하고 점수 간격은 경기별로 똑같이 띄우기로 했습니다. (왜 최대 점수를 0.707로 고정했냐면 다른 한 쪽은 시리즈 평균 승률 균형에 관한 값이 필요해지기 때문입니다.) 이제는 시리즈 평균 승리 확률의 균형을 생각해 볼 차례입니다. 저는 이를 균형 점수(Balancing Score, BS)라고 부를 것입니다. 이는 다 같은 5차전 시리즈라고 해서 흥미도가 꼭 같으리라는 보장은 없기 때문에 필요하다는 생각이 들었습니다. 시리즈마다 각 팀의 기대 시리즈 승리 확률 변화는 달라지거든요. 특히나 몇 차전을 승리하냐에 따라서도 말입니다.

 예를 들어 보겠습니다. 5차전으로 끝날 경우의 수는 다음 네 가지입니다.$$LWWW, WLWWW , WWLWW , WWWLW$$ 하지만 시리즈 기대 승률 그래프는 각 상황마다 조금씩 달라지게 됩니다. 분명 굉장히 앞서 있는 상태에서 한 번 지는 것과 우승 확률이 뒤지거나 비슷한 상황에서 역전해서 우승하는 건 다르니까요. 그리고 이 경우 일반적으로 역전해서 우승하는 게 더 많은 사람들의 관심을 끌 것입니다. 앞의 5차전 예시에서는 $LWWWW$가 $WWWLW$에 비해 두 팀의 승률 균형이 상대적으로 더 잘 지켜졌던 시리즈일 가능성이 큽니다. 그나마5차전으로 끝난 시리즈들은 이 차이가 적은 편입니다. 6차전, 7차전으로 끝난다면 이 차이는 더 커지게 됩니다.

 최상의 경우는 시리즈가7차전까지 진행되고 두 팀의 시리즈 평균 승리 확률의 비가 정확히1:1일 때일 겁니다. 다르게 말하자면,즐거움의 정점입니다. 반대는 당연히 한쪽이 질질 끌려가는, 4차전으로 원사이드 하게 끌려가는 시리즈일 겁니다. 그렇기에 시리즈 승리 확률 그래프가 필요하게 됩니다.하지만 한국시리즈에 대한 모든 경기의 PBP 데이터를 찾기는 힘듭니다. 그리고 이 그래프를 지금 당장 모두 그릴 수가 없습니다.그렇기에 좀 더 이상적인 상황을 가정하여 정의를 내릴 필요가 있습니다. 저는 승리 확률 그래프가 일정한 기울기로 변화하는 상황을 생각하기로 했습니다.예를 들자면 시리즈 시작 전50%였던 승리 확률은 시리즈1차전 승리 후65.6%가 되는데 이 사이 승리 확률 그래프는 계속 같은 기울기로 증가하는 상황을 가정하는 겁니다.그렇게 가정한 후 시리즈가 끝날 때까지의 승리 확률을 계산하고,시리즈 진행 중의 각 팀의 승리 확률 비가 어떻게 될지(=넓이 비가 어떻게 될지)계산하는 겁니다.경기 중의 승리 확률은 꾸준히 증가/감소로 가정했기 때문에 실제 승리 확률 비를 계산할 때(=넓이 계산,혹은 적분)사다리꼴의 넓이를 계속 구한다고 보시면 됩니다.

그림 1. 과 그림 2. 7차전 시리즈 승리 확률 그래프 가정에 대한 예시. 그림 1.은 시리즈 승리팀 기준 $LWWLLWW$으로 시리즈가 진행된 경우를, 그림 2.는 승리팀 기준 $WWWLLLW$으로 시리즈가 진행된 경우를 보여줍니다. 이처럼 각 팀별 시리즈 승리 확률 차이를 계산할 때 경기별 승리 확률이 같은 기울기로 증가/감소한다는 가정을 하고 시리즈 평균 승리 확률을 구했습니다. 덧붙여, 두 경우 모두 7차전까지 진행된 시리즈이지만 그림 1.의 시리즈보다 그림 2.의 시리즈가 훨씬 더 일방적인 시리즈였음을 보여줍니다. 그림 1.의 경우 시리즈 승리 팀의 평균 승리 확률과 패배 팀의 평균 승리 확률의 차이는 0.9%뿐이었지만, 그림 2.의 경우 50.9%의 차이가 나게 됩니다.

 그렇다면 이제 각각의 경우에 대한 상대팀별 승리 확률 차이를 구했습니다.이를 어떻게 관심 점수로 바꿀까요? 우선 팀별 시리즈 평균 승리 확률을 구합니다. 그림 1. 과 그림 2. 와 같이 말입니다. 그림 1. 의 경우 두 팀의 시리즈 평균 승리 확률은 0.9% 차이가 나게 됩니다. 그에 반해 그림 2. 는 50.9%가 차이 나게 됩니다. 그리고 이 사이에 18가지 상황(7차전 시리즈의 경우)이 가능하게 됩니다. 그렇다면 각 상황마다 팀별 승리 확률 차이를 구할 수 있을 거고, 그 차이가 작은 순서부터 큰 순서로 분류를 할 수 있을 겁니다. 이 순서대로 점수를 배정합니다. 점수의 차이는 각 상황별 승률 차이를 감안하여 배정합니다. 그리고 똑같은 프로세스로 4차전, 5차전, 6차전, 7차전 상황 모두에 대해서 점수를 배분합니다. (점수 배분과 좀 더 자세한 설명은 가장 아래 참고. 점수 배분 항목을 보시면 됩니다.) 그러면 이제 경기 점수와 균형 점수를 모두 얻었습니다. 그렇다면 관심 점수를 어떻게 정의하는지가 문제일 겁니다. 저는 이걸 4차전 시리즈로부터의 거리로 해결하기로 했습니다. 경기 점수와 균형 점수가 모두 4차전 시리즈로부터 멀수록 시리즈가 흥미진진할 확률이 높기 때문입니다. 즉, $$SOI=\sqrt{{GS}^{2}+{BS}^{2}}$$입니다. 그리고 4차전 시리즈는 $GS=BS=0$, 7차전 가장 팀 간 격차가 작은 시리즈의 경우 $GS=BS=0.707(=\frac{1}{\sqrt{2}})$이 되니 최솟값은 0, 최댓값은 1이 될 겁니다. 그리고 이 지점에서 균형 정도(Degree of Balance, DOB)를 정의했습니다. 왜냐 하면, 제가 정의한 SOI의 경우 GS와 BS 모두에 대한 함수이기 때문에 평균 경기 수가 다르더라도 SOI가 같은 경우가 나올 수 있기 때문입니다. 저는 이 값을 $DOB=\arctan{(\frac{BS}{GS})}\cdot\frac{4}{\pi}$로 정의할 것입니다. 왜 $\frac{4}{\pi}$를 곱하냐면 각각의 GS에 대해 BS가 최대가 되는 값이 $GS=BS$인 값인데, 이를 각도로 생각해 보면 $45^{\circ}(=\frac{\pi}{4})$이기 때문입니다. DOB가 1에 가까워 질수록 시리즈 평균 경기 수는 적었다 할지라도 상대적으로 많은 사람들이 만족할 수 있었던 시리즈가 많았다는 걸 의미합니다. 반면에 DOB가 작아질수록 경기 수는 많지만 그에 비해 팬들의 만족도는 떨어졌을 가능성이 큽니다. 이쯤이면 이제 눈치를 채셨을 겁니다. 극좌표를 생각하면 됩니다. (아마 고등학교 과정에서 극좌표를 안 배우는 경우가 많기 때문에 모르는 분들도 많을텐데,위키피디아를 참고하면 이해하실 수 있을 겁니다.) 그러니까 극좌표에서 거리 $r$을 SOI, 각도 $\theta$를 DOB로 해석하실 수 있는 겁니다. 
 

한국시리즈, 일본시리즈, 월드시리즈의 SOI

 전에도 언급했듯이 한국시리즈는 일본시리즈, 월드시리즈에 비해 더 빨리 끝나는 편입니다. 4차전 시리즈도 가장 잦았고, 7차전 시리즈 빈도는 가장 낮았죠. 그렇기에 당연히 세 시리즈 중 SOI가 가장 낮을 겁니다. 그렇다면 과연 얼마나 떨어져 있는지 확인을 해 봐야겠죠. 그림 3. 은 그 결과입니다. 각각의 범례에서 왼쪽 값은 SOI 값을, 오른쪽 값은 DOB 값을 의미합니다. 예를 들자면 한국시리즈의 평균 SOI는 0.419이고, 평균 DOB는 0.649입니다.

그림 3. 한국시리즈, 일본시리즈, 월드시리즈의 관심 점수(Score of Interest, SOI). 좌측 가장 하단은 4차전에 끝난 시리즈를 의미하고(지루함의 끝), 우측 최상단은 7차전까지 시리즈가 진행되면서 팀간 승리 확률도 거의 차이가 없었던 시리즈(즐거움의 극치)를 의미합니다. 빨간 점이 7차전 시리즈 평균을, 파란 점이 한국시리즈, 검은 점이 일본시리즈, 초록색 점이 월드시리즈를 의미합니다. JS와 WS의 SOI가 각각 0.523, 0.506으로 7차전 시리즈 평균(0.501)과 근접, 혹은 그보다 높은 정도를 보여주었지만 KS의 경우 SOI가 0.419로 평균이어야 할 0.501에서 많이 떨어져 있음을 보여줍니다.

 그림 3. 에서 보듯이, 일본시리즈와 월드시리즈는 평균적인 7차전 시리즈의 평균적인 기댓값에서 큰 차이를 보이지는 않았습니다. 일본시리즈의 경우에는 생각보다 더 우수한 SOI 값을 보여줬습니다. 월드시리즈는 KBO, NPB와 다르게 사실상 무승부가 없는 시리즈가 나올 수 없는 시리즈임에도 불구하고 SOI가 평균을 조금 웃도는 모습을 보여줬습니다. 그에 반해 한국시리즈는 평균적인 SOI에서 많이 모자란 시리즈인 걸 알 수 있습니다. 상대적으로 재미가 없었다고 해석할 수 있겠죠. 그렇다면 이제 다른 게 궁금해졌습니다. 지금까지 한국시리즈는 40번을, 일본시리즈는 73번, 월드시리즈는 114번(7차전 시리즈만) 열렸습니다. 그렇다면 각각 40회, 73회, 114회의 시리즈에 대한 한국시리즈/일본시리즈/월시리즈의 SOI 값은 상위/하위 어느 정도에 해당할까요? 직접 계산하기가 어려워 조금 우회해 몬테카를로 시뮬레이션을 해 봤습니다. 결과는 다음과 같습니다. 대한민국에서 고등학교를 다녀 봤다면 거의 다 알 만한 내신/수능 등급제를 한 번 적용해 봅시다. 

시리즈 구분	등급
일본시리즈	4등급 (상위 25.6%)
월드시리즈	5등급 (상위 43%)
한국시리즈	9등급 (하위 3.6%)

 월드시리즈와 일본시리즈는 SOI 기댓값보다 높았던 것에서 볼 수 있듯이, 각각 평균적으로 기대하는 범위 내에 분포하고 있음을 알 수 있습니다. (나이가 많으신 분들을 위해서 첨언하자면, 표준분포에 따라 5등급의 범위가 가장 넓습니다. 그다음이 4,6등급이 넓습니다. 그리고 이 수치가 평균적인 값에 해당한다고 보시면 됩니다.) 특히나 일본시리즈는 상위 25.6%라는 꽤 높은 SOI 값을 보여줬음을 알 수 있습니다. 하지만 KBO는 그와는 반대로 하위 4% 이내에 해당함을 알 수 있습니다. '9'등급인 겁니다. 등급제를 사용하지 않을 때 학창 시절을 보낸 분들이라도 9등급이 아주 심각하다는 것은 아실 겁니다. SOI가 아무리 심리적인 지수가 아니라고 할지라도 이 값이 하위 4%에 해당한다는 것은 시리즈가 줄 수 있는 즐거움이라는 면에서 심각한 거라는 걸 의미한다고 생각합니다.
 

다른 KBO 포스트시즌도 재미가 없었을까?

 KBO는 단일리그니 한국시리즈에 맞붙는 팀 간 격차가 NPB, MLB에 비해 크니 재미가 없는 거라고 생각할 수도 있습니다. 그런데 사실, 아마 잘 알고 계시겠지만, KBO라고 재미있는 시리즈를 즐길 수 없는 게 아닙니다.똑같은 프로세스를 통해 5차전 시리즈의 관심 점수를 정의했을 때 KBO 플레이오프는 하위 36% 정도, 5차전 시리즈 전체(준플레이오프 포함)는 상위 34% 정도의 즐거움 점수를 얻음을 알 수 있었습니다.다 4~6등급 정도의 점수로 평균적으로 기대할 수 있는, 한국시리즈에 비하면 더할 나위 없이 재미있는 시리즈였습니다.그만큼 하위 시리즈는 한국시리즈에 비해 상대적으로 더 치열한 시리즈가 펼쳐지고 있었다는 것도 알 수 있습니다. 

 정규 시즌 1위 팀이 우승하는 확률이 높은 건 어쩌면 당연한 것일 수도 있습니다. 그 시즌에 가장 강했던 팀일 가능성이 가장 높은 팀일 거니까요. 그리고 그 팀이, 6차전, 7차전씩 재미있는 시리즈를 해서 이긴다면 그건 리그에도 좋은 일입니다. 아주 막강한 팀이라서 4차전에 끝내도 그것 자체는 나쁜 게 아닙니다. 그만큼 강한 팀이 나타난다는 건 리그에 이야깃거리를 만드는 일일 거니까요. 그리고 그만큼 강한 팀이 리그에 출현하는 건 생각만큼 자주 나오지 않습니다. 하지만 그렇게 '원사이드'한 시리즈가 필요 이상으로 많이 나오게 된다면 그건 다른 문제입니다. 당장 생각나는 것만 해도 2016, 2021 한국시리즈가 생각날 정도로 한국시리즈는 원사이드하게 끝난 경우가 많습니다. 업셋의 문제를 차치하고 말입니다. KBO 리그는 가장 많은 팬들이 기대하는 한국시리즈를 가장 재미없게 만들었습니다. 일본시리즈, 월드시리즈와 비교해 보면 그 문제는 더 명확해집니다. 한국 야구팬들은 열정적이기로 유명합니다. 그렇다면 그 팬들이 더 재밌는 한국시리즈를 즐길 권리가 있는 건 당연할 겁니다. 적어도 우리들은 '9'등급 시리즈가 아닌 4~6등급의 '평균'적인 시리즈를 즐길 권리가 있습니다.

 

 

참고. 균형 점수(BS)의 점수 배분

경기 수	경기 결과	평균 기대 확률	평균 시리즈 승률 차이	BS
4	WWWW	1/8	57.8%	0
5	LWWWW	1/16	26.3%	0.236
5	WLWWW	1/16	38.8%	0.172
5	WWLWW	1/16	51.3%	0.109
5	WWWLW	1/16	61.3%	0.059
6	LLWWWW	1/32	5.2%	0.471
6	LWLWWW	1/32	5.2%	0.471
6	WLLWWW	1/32	15.6%	0.392
6	LWWLWW	1/32	17.7%	0.376
6	WLWLWW	1/32	28.1%	0.296
6	LWWWLW	1/32	30.2%	0.280
6	WWLLWW	1/32	38.5%	0.216
6	WLWWLW	1/32	40.6%	0.200
6	WWLWLW	1/32	51.0%	0.120
6	WWWLLW	1/32	59.4%	0.057
7	WLLWLWW	1/64	0.9%	0.707
7	LWWLLWW	1/64	0.9%	0.707
7	LLWWWLW	1/64	4.5%	0.657
7	LWLWWLW	1/64	4.5%	0.657
7	LWLWLWW	1/64	9.8%	0.581
7	WLWLLWW	1/64	9.8%	0.581
7	WLLLWWW	1/64	11.6%	0.556
7	WLLWWLW	1/64	13.4%	0.530
7	LWWLWLW	1/64	15.2%	0.505
7	LLWWLWW	1/64	18.8%	0.455
7	WWLLLWW	1/64	18.8%	0.455
7	LWLLWWW	1/64	20.5%	0.429
7	WLWLWLW	1/64	24.1%	0.379
7	LWWWLLW	1/64	25.9%	0.354
7	LLWLWWW	1/64	29.5%	0.303
7	WWLLWLW	1/64	33.0%	0.253
7	WLWWLLW	1/64	34.8%	0.227
7	LLLWWWW	1/64	36.6%	0.202
7	WWLWLLW	1/64	43.8%	0.101
7	WWWLLLW	1/64	50.9%	0

 각각의 상황에 대한 BS 배분 표입니다. 만약 두 팀 간 평균 시리즈 승률 차이가 작다면 BS의 경우 커지고, 승률 차이가 크다면 BS는 작아지게 될 겁니다. 점수 배분에서 그 차이는 4,5,6,7차전 각 상황마다 시리즈 승률 차이가 어느 정도 한정되어 있습니다. 예를 들자면 LWWLLWW의 경우와 LLWWWLW 시리즈의 경우 시리즈 승률 차이가 3.6%가량 나게 되고 WLWLLWW와 WLLLWWW의 경우 1.8%가량 나게 되는데, 앞의 경우의 정확히 반이 됩니다. 이런 식으로 승률 차이가 어느 정도 규격화 되어 있기 때문에 이 규격에 맞게 점수 배분을 할 수 있습니다. 7차전 시리즈의 경우 최소점과 최고점이 각각 0, 0.707이 되도록 조정했습니다. 그렇기 한다면 7차전 시리즈에 대해 평균 BS가 0.432가 되는데, 이는 DOB로 환산하면 0.698에 해당합니다. 나머지 4,5,6차전 시리즈도 똑같이 DOB가 0.698이 되도록 조정했습니다. 단 각각의 BS 최댓값은 GS와 같아지도록 통일했습니다. 이렇게 점수를 배분해 놓으면 꽤 근사하게도 SOI의 평균값이 0.5에 굉장히 가까워집니다. (0.501)