3. 홈/원정 경기 승률 조정 - UPDATE

이 글은 PS Odds 계산 과정에서 3. 홈 원정 경기 승률 조정을 업데이트하여 쓰는 글입니다. 그 글과 비교하면서 읽으시면 이해가 더 쉬울 겁니다.

이전에 사용하던 홈원정 경기 승률 조정 방법은 $W_{H} = W^{0.914}$를 이용하여 적용하였습니다. 이를 통해 승률이 0,1과 같이 극단적인 상황을 잘 조절할 수 있었지만, 상대 승률의 합이 홈원정 경기 보정을 적용했을 때 1과 다르게 되는 문제점이 있었습니다. 그로 인해 승률 0.5를 기준으로 계산식을 다르게 적용하는 방식을 취했습니다. 하지만 내내 이 부분이 마음에 걸렸습니다. 사실 미봉책이라고 생각했거든요. 그 때문에 이 글을 쓰는 겁니다. 

제가 원하는 건 홈팀과 상대 팀(원정)의 승률 합이 1이 되는 식입니다. 일반적으로 홈승률이 원정 승률보다 높으니, 팀의 승률 x에 대해 홈승률과 팀승률의 차이를 F(x)라고 해 봅시다. 그렇다면 다음과 같은 식을 성립하게 모델을 만드는 게 목표입니다.

$$x+F(x) + (1-x)-F(1-x)=1$$

$F(x)$와 $F(1-x)$의 부호가 반대가 되는 이유는 상대팀의 홈/원정이 반대가 되기 때문에 홈팀(승률 $x$)은 $F(x)$를, 원정팀은 $F(1-x)$를 더하는 겁니다. 여하튼 이 식을 풀어 보면 다음을 얻게 됩니다.

$$F(x)=F(1-x)$$

그리고 당연히, $F(1) = F(0) = 0$을 만족해야 합니다. 팀 기대승률이 1이거나 0이면 홈/원정에서의 승률 차이가 없을 거니까요.

그렇다면 어떤 식을 사용해야 할까요? 방법은 여러 가지가 있겠습니다만, 이미 제가 이전에 이와 비슷한 식을 만들어서 사용하고 있었습니다. 평균으로의 회귀 적용을 할 때, 시즌 초반 피타고리안 승률을 통해 그 후의 피타고리안 승률을 예측할 때 사용한 회귀 식이 그것이었습니다. 인수로 $(\ln(\frac{x}{1-x}))^{2}$을 이용하면 0,1에서의 값을 특정할 수 있고 $F(x)=F(1-x)$ 식 또한 만들 수 있습니다. 그렇다면 평균으로의 회귀에서 사용한 방식을 홈/원정 경기 승률 조정에도 적용해 보기로 합시다. 아래는 그 결과입니다.

1982~2021시즌 팀 승률과 홈 승률. 두산과 LG의 잠실 맞대결 성적은 빠진 성적입니다.

이전에 사용한 방식, $W_{H}=W^{0.914}$의 경우 $r^{2} \sim 0.796$으로 꽤 높은 편이었습니다. 하지만 이렇게 $W_{H}=W+0.033\exp(-0.801(\ln(\frac{W}{1-W}))^{2})$로 식을 조정함으로써 $F(0)=F(1)=0$, $F(x)=F(1-x)$ 모두를 만족할 뿐만 아니라 $r^{2} \sim 0.819$로 이전보다 더 설명력이 높은 식을 만들 수 있었습니다. 제가 원하던 바도 이루고 설명력까지 높은 식을 사용하지 않을 이유는 없습니다. 그렇기 때문에 현재 PS odds 사이트에서 사용하는 홈/원정 보정은 모두 이 식($W_{H}=W+0.033\exp(-0.801(\ln(\frac{W}{1-W}))^{2})$)을 이용하여 시뮬레이션하고 있습니다.